概率論是一門研究隨機現象數量規律的數學分支學科，也是一門研究事情發生的可能性的學問。但是你知道嗎？

概率論的起源與歐洲文藝復興時期的賭博活動密切相關，今天大小吳就來和大家聊一聊這些往事。

1 梅累騎士的問題

1654年，法國貴族德·梅累騎士在一次名流聚會活動中向當時名滿歐洲的天才數學家帕斯卡提出了這樣一個問題：

“有兩個賭徒和，他們倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。對于兩人來說，游戲的規則是完全公平的（即兩人在每局游戲中獲勝的可能性相同）。賭了半天，贏了4局，贏了3局。這時突然有消息說警察馬上就要來了，兩人便急忙拿著獎金匆匆忙忙逃離了現場。

布萊士·帕斯卡（1623-1662）

“兩人到達安全地點后，開始商量如何分配賭金。贏了3局的認為，由于兩人獲勝的局數之比為.因此應當把賭金平均分成7份，按照這筆賭金的和進行分配是最合理的。“這時贏了4局的提出了異議：按照游戲規則，我只要再贏一局就可以贏得全部賭金，而你需要再連續贏兩局才能贏得全部賭金，顯然我能獲得全部賭金的可能性更大，按照的方式來分配賭金肯定對我不公平！

梅累騎士請教帕斯卡先生：在這種情況下，要如何分配賭金才合理呢？

如何當場算出這個問題的比例，即便是當時大家公認的天才帕斯卡也完全沒有頭緒，不過帕斯卡向梅累騎士承諾：“我一定會想出這個問題的答案。”當時在聚會中的人們被梅累騎士與帕斯卡的交談所吸引，但他們不知道自己正在親眼見證一個歷史性的瞬間。

這便是數學歷史上著名的賭金分配問題。

2 帕斯卡與費馬的通信

帕斯卡埋頭于這個難題，但當時，這樣的概率計算還是有史以來的首次嘗試。即便是天才帕斯卡似乎也無法確認自己的計算是否正確。于是，帕斯卡寫信給好友費馬（沒錯，就是那個本職工作是律師，但數學成就不比職業數學家差的“業余數學家之王”）。對于帕斯卡而言，當時能夠參與解答這個難題的，非費馬莫屬。

帕斯卡與費馬的通信

帕斯卡在信中提出：

“假設兩位賭徒繼續玩下去，再進行一局，若勝則可得全部賭金（獲得完整的1份賭金），若勝，則大家各勝4局，這種情況下和各有的可能性獲得賭金，所以這時賭金就應該對半平分（和各獲得份賭金）。

“

綜上所述，在對于如何分配賭金的討論中，的概率應當全額分配給，剩下的概率應該平分給和兩個人，因此分配方案為：

“最終按照的比例進行分配，才是對兩人都公平的方案。

對于帕斯卡的問題，費馬則提出了另一種解法：

“、兩人至多只要再玩兩局便可分出勝負。我們其實可以想象一下再玩兩局會出現的所有可能的情況：

第一局第二局

勝

勝

勝

勝

勝

勝

勝

勝

“每種情況都是等概率出現，其中前三種情況都是獲得全部賭金，而只有在最后一種情況時才能獲得全部賭金，因此應該以的比例進行分配。

無論是帕斯卡的方法還是費馬的方法，他們都從不同的角度提出了如何合理分配賭金的方案。

3 數學期望

回顧一下這個問題，我們發現，僅僅考慮誰贏了幾局是不夠的，還必須和游戲一開始“率先贏滿5局者獲勝”的規則聯系起來。這樣，每個人的“期望值”便是不一樣的，離5局更近，“期望”就會高些，因而得到的賭金可以達到的份額；而離5局較遠，“期望”就會低些，得到的賭金就僅有了。

帕斯卡與費馬通過通信討論了合理分配賭金的問題，于是便有了上述關于“期望值”的數學，是為概率論之發端。

我們一般用來表示期望值（Expectation）.

已知離散型隨機變量在每一狀態下的取值以及對應的概率.則期望可用如下公式計算：

比如在上述分配賭金問題中，能夠分得賭金的數學期望就是這樣計算而來的。

賭金（份）（份）

概率

0.5

0.5

在生活中也有很多關于“數學期望”的例子，最經典的例子為彩票。

我們假設有一種彩票，分為5個獎項，每個獎項的金額和中獎概率如下：

一等獎500萬元，中獎概率

二等獎10萬元，中獎概率

三等獎3000元，中獎概率

四等獎200元，中獎概率

五等獎5元，中獎概率

那么買一注彩票的平均收益（期望值）為：

也就是說，如果花2元買一注彩票，則每買一注彩票平均會虧損0.65元。

因此，還是不要夢想一夜暴富了，腳踏實地，努力學習吧！

參考文獻

[1]張奠宙,丁傳松,柴俊.情真意切話數學[M].科學出版社，2011.

[2]（日）巖澤宏和.改變世界的134個概率統計故事[M].戴華晶譯.湖南科學技術出版社，2016.

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