賭神的公式

孤獨(dú)大腦與ChatGPT的對話

作者簡介 PROFILE 老喻 ·公眾號“孤獨(dú)大腦”主理人 ·未來春藤創(chuàng)始人 ·35歲財(cái)富自由，致力于教育領(lǐng)域和商業(yè)洞察

本文的“下注”是指游戲或合法投資，

三個(gè)故事

故事1

最后一口水

有個(gè)人在沙漠上迷路了，后來沒有水，在救援人員趕來之前不幸離世。后來救援人員發(fā)現(xiàn)他隨身攜帶的鋼筆里還有墨水。有人說，假如他喝了墨水，沒準(zhǔn)兒能堅(jiān)持到獲救。

故事2

最后一層樓

這個(gè)故事大約是本世紀(jì)初我聽到的。有個(gè)富豪，生意做得很大。后來遭遇挫折，虧光所有資產(chǎn)。絕望時(shí)突然想起自己在HK買過一層寫字樓，一直沒放在心上，這時(shí)候真成了東山再起的籌碼——幸好忘了，不然可能連這層樓也虧掉了。

故事3

最后一筆財(cái)

和幾個(gè)做投資的朋友吃飯。有位兄弟說起應(yīng)該像當(dāng)年猶太人那樣，備一些應(yīng)急的珠寶。一是如上世紀(jì)初地球混亂時(shí)能當(dāng)買路錢，二是逃到生地后也需要重振旗鼓的本錢。

我提及以上三個(gè)故事，重點(diǎn)不在應(yīng)急，而是想說：

任何時(shí)候，確保自己還有下注的能力，是一種極其重要的生存智慧。

這三個(gè)故事都揭示了一個(gè)核心的生存和成功原則：

無論你面對何種情況，都要確保自己保有下一步行動的能力，無論是在商業(yè)、投資還是生活中。

故事一中的人如果意識到自己的鋼筆中的墨水，就可能能夠繼續(xù)生存下去，等待救援。

故事二中的富豪，在他的生意倒塌后，由于他之前在香港的一處寫字樓，他有機(jī)會重新開始，再次積累財(cái)富。

故事三中的猶太人，他們儲備了珠寶等貴重物品，使他們在最糟糕的情況下仍有生存的可能。

所有這些故事都強(qiáng)調(diào)了保持“下注”的能力的重要性：

1、在投資中，這意味著你要保證自己有足夠的資金和資源來應(yīng)對市場的波動和不確定性；

2、在生活中，這可能意味著你需要保持自己的身心健康，保持學(xué)習(xí)和進(jìn)步，以便在面對困難和挑戰(zhàn)時(shí)，你有能力和信心去應(yīng)對。

“賭神”的第一公式

孤獨(dú)大腦：說起下注，今天我們來聊凱利公式。

據(jù)說這是賭神的“第一公式”……

ChatGPT：凱利公式是一個(gè)用來決定最優(yōu)投注比例的公式，它幫助投資者和賭徒最大化長期的收益。

這個(gè)公式是由凱利在1956年提出的，他在貝爾實(shí)驗(yàn)室工作，試圖找到一種有效的通信線路噪聲管理策略。

然后他發(fā)現(xiàn)，他的理論可以應(yīng)用于賭博和投資領(lǐng)域，幫助人們確定每次下注的最佳金額。

凱利公式如下：

f* = (bp – q) / b

這里：

這個(gè)公式基于一個(gè)假設(shè)，那就是你可以準(zhǔn)確估計(jì)獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。如果你的預(yù)測是準(zhǔn)確的，那么凱利公式可以告訴你應(yīng)該把多少錢投入到每次下注中，以最大化長期的收益。

然而，值得注意的是，凱利公式的應(yīng)用在實(shí)際情況中可能會非常復(fù)雜，因?yàn)椋?/p>

1、我們很難精確地預(yù)測獲勝的概率和每次賭注的潛在收益。

2、凱利公式可能會導(dǎo)致比較大的投注比例，如果你不能接受這種風(fēng)險(xiǎn)，那么你可能需要把下注比例降低一些。

孤獨(dú)大腦：講起凱利公式，我們必須要提一下香農(nóng)和索普。

當(dāng)年索普發(fā)現(xiàn)了在賭場玩兒二十一點(diǎn)戰(zhàn)勝莊家的辦法，但是，即使勝率占優(yōu)，期望值為正，因?yàn)橘€場的本金相對賭徒幾乎是無限多，所以每次如何下注依然是個(gè)難題。

索普向貝爾實(shí)驗(yàn)室最聰明的香農(nóng)求助，香農(nóng)于是推薦了第二聰明的凱利提出的公式。

ChatGPT：這個(gè)故事很有趣。

索普是一個(gè)極其聰明的數(shù)學(xué)家，他是最早系統(tǒng)性地研究二十一點(diǎn)游戲策略的人。他發(fā)現(xiàn)了一種可以在長期內(nèi)戰(zhàn)勝賭場的策略，這就是現(xiàn)在被廣泛使用的“基本策略”和“計(jì)數(shù)系統(tǒng)”。

然而，索普在確定每一局應(yīng)下注多少時(shí)遇到了問題。他明白，即使他有優(yōu)勢，但如果他每次下注過多，那么他仍然有可能在短期內(nèi)輸?shù)羲械腻X。他需要一種方法來平衡勝率和下注金額。

于是，他找到了香農(nóng)求助。香農(nóng)是信息論的創(chuàng)始人，他認(rèn)識到索普的問題實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于信息和噪聲的問題，于是推薦了凱利公式給他。

使用凱利公式，索普可以確定每次下注的最佳比例，使他的長期收益最大化。

凱利公式基于的思想是，如果你的策略具有正的期望收益，那么你應(yīng)該適度地增加投注，但又不能過度，以免風(fēng)險(xiǎn)太大。

這個(gè)故事是一個(gè)完美的例子，展示了數(shù)學(xué)、信息論和決策理論是如何在現(xiàn)實(shí)中發(fā)揮作用的。

凱利公式的推導(dǎo)

孤獨(dú)大腦：請你從數(shù)學(xué)角度，講一下凱利公式的原理、推導(dǎo)。

ChatGPT：凱利公式的基本思想是最大化長期投資的復(fù)利增長。它是在特定假設(shè)下推導(dǎo)出來的，主要用于確定在有正期望值的投資或下注中應(yīng)投入的比例。

先說原理。

凱利公式的基本思想源自信息理論和概率理論。

它的目標(biāo)是找到一個(gè)投資策略，使得資本的長期復(fù)利增長率最大。

這通常涉及到在風(fēng)險(xiǎn)和收益之間進(jìn)行權(quán)衡。

以下是公式推導(dǎo)。在一個(gè)簡單的賭博游戲中，假設(shè)：

如果你決定每次賭博投入總資本的f比例，那么每次賭博后你的資本變?yōu)椋?/p>

假設(shè)每次賭博是獨(dú)立的，那么在n次賭博后，你的資本Cn為：

Cn = C0 * (1+f*b)^X * (1-f)^Y

其中，X是你贏的次數(shù)，Y是你輸?shù)拇螖?shù)。

在長期來看（即n趨于無窮大），資本的期望對數(shù)增長率（即對數(shù)資本的期望增長率）是最重要的指標(biāo)。在這個(gè)模型中，這個(gè)增長率g為：

g=E[ln(Cn/C0)]/n=pln(1+fb)+q*ln(1-f)

你的目標(biāo)是找到一個(gè)f，使得g最大。這可以通過求解上面這個(gè)式子的最大值來實(shí)現(xiàn)。

使用微積分的方法，你會找到：

f* = (bp – q) / b

其中f*是使得g最大的f值。

不確定情況下的復(fù)利

孤獨(dú)大腦：在某種意義上，凱利公式是用來計(jì)算不確定情況下的復(fù)利回報(bào)的。

在確定性情況下，復(fù)利的計(jì)算很簡單；但在現(xiàn)實(shí)世界里，投資者哪怕勝率占優(yōu)，也是有輸有贏的。如上計(jì)算，全面考慮了虧和賺對整體收益的影響。

ChatGPT：是的，你的理解是正確的。

凱利公式就是在處理這樣的問題：在一個(gè)存在風(fēng)險(xiǎn)的環(huán)境中，你應(yīng)該如何分配你的投資，以最大化你的長期復(fù)利回報(bào)。

在確定性的環(huán)境中，復(fù)利的計(jì)算是簡單直接的。如果你知道你的投資回報(bào)率，你可以簡單地將這個(gè)回報(bào)率應(yīng)用于你的投資本金，然后持續(xù)復(fù)利，得到你的最終回報(bào)。

然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，投資者面臨的通常是一種風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境，即使你的策略勝率占優(yōu)，你也不能保證每一次投資都會贏。

這就是凱利公式的應(yīng)用場景。

凱利公式告訴你在每一次投資中應(yīng)該投入多少本金，這個(gè)數(shù)值是根據(jù)你的勝率和賠率計(jì)算出來的，以期最大化你的長期復(fù)利回報(bào)。

當(dāng)你遵循凱利公式進(jìn)行投資時(shí)，即使在一段時(shí)間內(nèi)有輸?shù)耐顿Y，只要你的策略在長期中勝率占優(yōu)，你的投資本金將會按照復(fù)利增長。

然而，需要注意的是，凱利公式并不能消除風(fēng)險(xiǎn)，它只是提供了一個(gè)理論上的最佳投資比例，以期望在長期中獲得最大的復(fù)利回報(bào)。

在實(shí)際應(yīng)用中，投資者可能需要考慮到其他的風(fēng)險(xiǎn)因素，比如市場的波動性，投資者的風(fēng)險(xiǎn)承受能力等，所以可能不會完全按照凱利公式的建議進(jìn)行投資。

孤獨(dú)大腦：確切說，凱利公式只適用于期望值為正的投資。

也就是說，這個(gè)公式只能幫助一個(gè)好的投資，而無法挽救一個(gè)差的投資。

確切說，凱利公式無法幫助一個(gè)賭徒。

ChatGPT：是的，凱利公式是在投資或下注的期望值為正的情況下才能提供最優(yōu)策略的。

期望值是每次投資可能的收益與各自發(fā)生的概率的乘積之和。

如果一個(gè)投資的期望值為正，那就意味著在長期內(nèi)，這個(gè)投資平均每次能帶來正的收益。

反過來，如果一個(gè)投資的期望值為負(fù)，那就意味著在長期內(nèi)，這個(gè)投資平均每次會帶來損失。

凱利公式的目標(biāo)是找到一個(gè)策略，使得你的資本的長期復(fù)利增長率最大。

如果一個(gè)投資的期望值為負(fù)，那么無論你投入多少資本，長期來看你的資本都會減少。

在這種情況下，凱利公式?jīng)]有意義，因?yàn)闆]有任何策略能增加你的資本。

因此，凱利公式必須基于期望值為正的投資，否則，它無法提供有效的投資策略。

最后

回到最開始的三個(gè)故事，對于每個(gè)人而言，確保自己始終有下注的能力，有進(jìn)一步行動的本錢，是非常重要的。

我們未必真要懂得凱利公式的計(jì)算，在現(xiàn)實(shí)中也很難有完美應(yīng)用該公式的環(huán)境，但是其傳遞的理念值得銘記：聰明下注，永遠(yuǎn)給自己留一手牌。

此外，凱利公式計(jì)算的結(jié)果，是按照比例下注的。

所以，未必錢少的人就要去賭，要去搏一把。

因?yàn)橐獙?shí)現(xiàn)最終長期回報(bào)最大化，我們需要的是“最合適”的策略，而非“最拼命”的策略。

祝你好運(yùn)。

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