第三章 生命表生命表相關定義生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續死亡的全部過程的一種統計表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 生命表基本函數lx：存活到確切整數年齡x歲的人口數，x=0,1,……ω-1。 ndx：在x~x+n歲死亡的人數，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在x~x+n歲死亡的概率，當n=1時，簡記為qx生命表基本函數(1)(2)(3)生命表基本函數npx： x~x+n歲的存活概率,與nqx相對的一個函數。當n=1，簡記為px 。生命表基本函數nLx：x歲的人在x~x+n生存的人年數。人年數是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設下，x~x+n歲的死亡人數ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時，生命表基本函數：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數。 Tx：x歲的人群未來累積生存人年數。在均勻分布假設下，生命表基本函數：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x歲的人在x+n~x+n+1歲死亡的概率。

：表示x歲的人在x+n~x+n+m歲之間死亡的概率。生存分布一、新生兒的生存函數二、x歲余壽的生存函數三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽新生兒的生存函數F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數。s(x)：生存函數，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。新生兒在x~z歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數生命表函數中的存活人數lx 正是生命表基數l0與x歲生存函數之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，x歲余壽的生存函數以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時間內存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。x歲的人在t時間內死亡的概率tqxx歲余壽的生存函數考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率x歲余壽的生存函數x歲的人在x+t~x+t+u的死亡概率，以概率的方式表示為： 整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數，簡記概率函數死亡力定義：的瞬時死亡率，簡記死亡力與生存函數的關系死亡力死亡力實際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機變量的期望值死亡力生命表x歲死亡人數dx正是生存人數函數lx+t與死亡力之積在 0~1上的積分生命表x歲生存人年數Lx正是生存人數函數lx+t在0~1上的積分生命表x歲累積生存人年數Tx正是生存人數函數lx+t在0~∞上的積分 死亡力對于x歲期望剩余壽命，可以證明：整值平均余壽與中值余壽 x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數年數，不包括不滿1年的零數余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，整值平均余壽與中值余壽 由于，所以 整值平均余壽與中值余壽 由于故，在死亡均勻分布假設下，故，整值平均余壽與中值余壽 中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 非整數年齡存活函數的估計死亡均勻分布假設死亡力恒定假設巴爾杜奇(Balducci) 假設有關非整數年齡的假設 使用背景:生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)死亡均勻分布假設假設死亡在整數年齡之間均勻發生，此時存活函數是線性的。

死亡均勻分布假設 (0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１) 死亡力恒定假設 當假設死亡力在x~x+1上恒定時，(x為整數，0≤t≤1)，由死亡力的定義，死亡力恒定假設若以表示，有此時， 巴爾杜奇(Balducci)假設以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設是當x為整數，0≤t≤1時，生存函數的倒數是t的線性函數，即巴爾杜奇(Balducci)假設 （其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）此時，三種假定下的生命表函數Ballucci常數死亡力均勻分布函數生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表生命表編制的一般方法 時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。Dx：某年齡x歲的死亡人數；： x歲的平均人數，即年初x歲人數與年末x歲人數的平均數，有時也用年中人數代替。 生命表編制的一般方法x歲的中心死亡率（分年齡死亡率）為，生命表分年齡中心死亡率：生命表分年齡死亡人數在分年齡生存人年數中的比例。 生命表編制的一般方法在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常與非常接近，實際中常用近似 選擇生命表選擇生命表構造的原因需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優于很早以前接受體檢的老成員。需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇生命表的使用選擇生命表函數關系